Sobre la tangente y la secante a una parábola

¿Cuánto resultará la velocidad cuando el tiempo transcurrido es 2?

Buenos días Colegas.

No hace mucho me encontré con una propuesta didáctica con la cual se podía iniciar el desarrollo del concepto de derivada. Para hacerlo, consideraba la representación gráfica de la trayectoria de un móvil, que describía una curva parabólica, en comparación con el de otra trayectoria, lineal.

Algo así:

Por lo que se tiene el recorrido de A graficado mediante la función f, y el recorrido de B, graficado a través de la función g. Todo esto como parte de una situación de la que omitiré los detalles para centrar la atención en la “característica matemática” que pretendo compartir.

Para la función g, la cuestión es simple y la velocidad es 1 (también estoy omitiendo las unidades, deseando no abusar del recorte)

Para f, los valores que corresponden a esa magnitud son variables, y, en lo que respecta al estudio propuesto se podría preguntar: ¿Cuánto resultará la velocidad cuando el tiempo transcurrido es “t”?

Hecha la presentación y habiendo acordado las cuestiones a considerar, veamos ahora por qué no se debería, bajo estas condiciones, preguntar:

¿Cuánto resultará la velocidad cuando el tiempo transcurrido es 2?

El camino que se suele recorrer implica determinar sucesivos cocientes incrementales que van aproximando la pendiente de las rectas secantes al de la recta tangente. 

Podríamos empezar formando el triángulo rectángulo como medio para visualizar el cociente incremental, así:

Siendo el cociente: (4-3)/(4-2) = 0,5

La siguiente aproximación puede ser: (3,75-3) /(3-2) = 0,75

Y, la siguiente, podría ser, aproximadamente: (3,4-3)/(2,5-2) = 0,8

Ahora haciendo un esfuerzo mayor de lectura sobre la gráfica, sería aproximadamente: (3,2-3)/(2,2-2) = 1

Lo que nos lleva al mismo resultado que expresa la pendiente de la función lineal, que no es ni más ni menos, que la secante a la función cuadrática que pasa por dos puntos equidistantes en sus respectivos valores de abscisa al punto sobre el cual se busca la velocidad instantánea.

Y esto me llevó a explorar esta característica de las parábolas, en particular expresadas mediante funciones cuadráticas, que es: La pendiente de la recta tangente a un punto dado de una parábola resulta igual a la pendiente a la recta secante que pasa por dos puntos cuyos valores de abscisa resulten equidistantes del valor de abscisa del punto considerado para la tangente.

La siguiente construcción en GeoGebra permite explorarlo:

https://www.geogebra.org/classic/fbbfszsu

Algebraicamente, también es demostrable y comparto una vía:

Sea f(x) = ax² +bx + c

En definitiva: 2ax + b

Que resulta igual a f’(x), y sabiendo que la derivada define a la pendiente de la recta tangente, resulta probado lo expresado.

Este no es un resultado que sorprenda demasiado, es fácil imaginar que existirá una paralela a la recta tangente que resulte una secante a la función, ahora bien, al comentárselo a colegas el caso les resultó tan inédito como a mí.

Por otra parte, matemáticamente hablando es más favorable calcular la derivada que aplicar este procedimiento para determinar la pendiente de la recta tangente, pero, en lo que respecta a la enseñanza, nos deja una consideración fundamental, pues, de no contemplarse esta propiedad de las funciones cuadráticas podemos llegar a proponer una situación que involucra dos inconvenientes. El primero es de un orden pragmático, ya que, si el resultado buscado, la pendiente de la recta tangente, es el mismo que la pendiente de la recta secante que se calculó previamente, carece de sentido las labores que se deben realizar para buscar la aproximación mencionada y explicitada previamente.

El segundo inconveniente también tiene que ver con el orden práctico, pero dado el aspecto que aborda lo denominaré, conceptual, y es que si con lo que se sabe ya se puede resolver un problema difícilmente se busque aprender un nuevo concepto, o estrategia.

Saludos.